Перечисленные равенства при преобразовании выражений с логарифмами используются как справа налево, так и слева направо.

Стоит заметить, что запоминать следствия из свойств необязательно: при проведении преобразований можно обойтись основными свойствами логарифмов и другими фактами (например, тем, что при b≥0), из которых соответствующие следствия вытекают. «Побочный эффект» такого подхода проявляется лишь в том, что решение будет немного длиннее. К примеру, чтобы обойтись без следствия, которое выражается формулой , а отталкиваться лишь от основных свойств логарифмов, придется провести цепочку преобразований следующего вида: .

То же самое можно сказать и про последнее свойство из приведенного выше списка, которому отвечает формула , так как оно тоже следует из основных свойств логарифмов. Главное понимать, что всегда имеется возможность у степени положительного числа с логарифмом в показателе поменять местами основание степени и число под знаком логарифма. Справедливости ради, заметим, что примеры, подразумевающие осуществление преобразований подобного рода, на практике встречаются редко. Несколько примеров мы приведем ниже по тексту.

Преобразование числовых выражений с логарифмами

Свойства логарифмов вспомнили, теперь пора учиться применять их на практике для преобразования выражений. Естественно начать с преобразования числовых выражений, а не выражений с переменными, так как на них удобнее и проще познавать азы. Так мы и сделаем, причем начнем с очень простых примеров, чтобы научиться выбирать нужное свойство логарифма, но постепенно будем усложнять примеры, вплоть до момента, когда для получения конечного результата нужно будет применять несколько свойств подряд.

Выбор нужного свойства логарифмов

Свойств логарифмов не так мало, и понятно, что нужно уметь выбрать из них подходящее, которое в данном конкретном случае приведет к требуемому результату. Обычно это сделать нетрудно, сопоставив вид преобразуемого логарифма или выражения с видами левых и правых частей формул, выражающих свойства логарифмов. Если левая или правая часть одной из формул совпадает с заданным логарифмом или выражением, то, скорее всего, именно это свойство и надо применять при преобразовании. Следующие примеры это наглядно демонстрируют.

Начнем с примеров преобразования выражений с использованием определения логарифма, которому отвечает формула a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 .

Пример.

Вычислите, если это возможно: а) 5 log 5 4 , б) 10 lg(1+2·π) , в) , г) 2 log 2 (−7) , д) .

Решение.

В примере под буквой а) явно видна структура a log a b , где a=5 , b=4 . Эти числа удовлетворяют условиям a>0 , a≠1 , b>0 , поэтому можно безбоязненно воспользоваться равенством a log a b =b . Имеем 5 log 5 4=4 .

б) Здесь a=10 , b=1+2·π , условия a>0 , a≠1 , b>0 выполнены. При этом имеет место равенство 10 lg(1+2·π) =1+2·π .

в) И в этом примере мы имеем дело со степенью вида a log a b , где и b=ln15 . Так .

Несмотря на принадлежность к тому же виду a log a b (здесь a=2 , b=−7 ), выражение под буквой г) нельзя преобразовать по формуле a log a b =b . Причина в том, что оно не имеет смысла, так как содержит отрицательное число под знаком логарифма. Более того, число b=−7 не удовлетворяет условию b>0 , что не дает возможности прибегнуть к формуле a log a b =b , так как она требует выполнения условий a>0 , a≠1 , b>0 . Итак, нельзя говорить о вычислении значения 2 log 2 (−7) . В этом случае запись 2 log 2 (−7) =−7 будет ошибкой.

Аналогично и в примере под буквой д) нельзя привести решение вида , так как исходное выражение не имеет смысла.

Ответ:

а) 5 log 5 4 =4 , б) 10 lg(1+2·π) =1+2·π , в) , г), д) выражения не имеют смысла.

Часто бывает полезно преобразование, при котором положительное число представляется в виде степени какого-то положительного и отличного от единицы числа с логарифмом в показателе. В его основе лежит то же определение логарифма a log a b =b , a>0 , a≠1 , b>0 , но формула применяется справа налево, то есть, в виде b=a log a b . Например, 3=e ln3 или 5=5 log 5 5 .

Переходим к применению свойств логарифмов для преобразования выражений.

Пример.

Найдите значение выражения: а) log −2 1 , б) log 1 1 , в) log 0 1 , г) log 7 1 , д) ln1 , е) lg1 , ж) log 3,75 1 , з) log 5·π 7 1 .

Решение.

В примерах под буквами a), б) и в) даны выражения log −2 1 , log 1 1 , log 0 1 , которые не имеет смысла, так как в основании логарифма не должно находиться отрицательное число, нуль или единица, ведь мы определили логарифм лишь для положительного и отличного от единицы основания. Поэтому, в примерах а) - в) не может быть и речи о нахождении значения выражения.

Во всех остальных заданиях, очевидно, в основаниях логарифмов находятся положительные и отличные от единицы числа 7 , e , 10 , 3,75 и 5·π 7 соответственно, а под знаками логарифмов всюду стоят единицы. А нам известно свойство логарифма единицы: log a 1=0 для любого a>0 , a≠1 . Таким образом, значения выражений б) – е) равны нулю.

Ответ:

а), б), в) выражения не имеют смысла, г) log 7 1=0 , д) ln1=0 , е) lg1=0 , ж) log 3,75 1=0 , з) log 5·e 7 1=0 .

Пример.

Вычислить: а) , б) lne , в) lg10 , г) log 5·π 3 −2 (5·π 3 −2) , д) log −3 (−3) , е) log 1 1 .

Решение.

Понятно, что нам предстоит воспользоваться свойством логарифма основания, которому отвечает формула log a a=1 при a>0 , a≠1 . Действительно, в заданиях под всеми буквами число под знаком логарифма совпадает с его основанием. Таким образом, хочется сразу сказать, что значение каждого из заданных выражений есть 1 . Однако не стоит торопиться с выводами: в заданиях под буквами а) – г) значения выражений действительно равны единице, а в заданиях д) и е) исходные выражения не имеют смысла, поэтому нельзя сказать, что значения этих выражений равны 1 .

Ответ:

а) , б) lne=1 , в) lg10=1 , г) log 5·π 3 −2 (5·π 3 −2)=1 , д), е) выражения не имеют смысла.

Пример.

Найти значение: а) log 3 3 11 , б) , в) , г) log −10 (−10) 6 .

Решение.

Очевидно, под знаками логарифмов стоят некоторые степени основания. Исходя из этого, понимаем, что здесь нам пригодится свойство степени основания: log a a p =p , где a>0 , a≠1 и p – любое действительное число. Учитывая это, имеем следующие результаты: а) log 3 3 11 =11 , б) , в) . А можно ли записать аналогичное равенство для примера под буквой г) вида log −10 (−10) 6 =6 ? Нет, нельзя, так как выражение log −10 (−10) 6 не имеет смысла.

Ответ:

а) log 3 3 11 =11 , б) , в) , г) выражение не имеет смысла.

Пример.

Представьте выражение в виде суммы или разности логарифмов по тому же основанию: а) , б) , в) lg((−5)·(−12)) .

Решение.

а) Под знаком логарифма находится произведение, а нам известно свойство логарифма произведения log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . В нашем случае число в основании логарифма и числа в произведении являются положительными, то есть, удовлетворяют условиям выбранного свойства, поэтому, мы его можем спокойно применять: .

б) Здесь воспользуемся свойством логарифма частного , где a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 . В нашем случае основание логарифма есть положительное число e , числитель и знаменатель π положительны, значит, удовлетворяют условиям свойства, поэтому мы имеем право на применение выбранной формулы: .

в) Во-первых, заметим, что выражение lg((−5)·(−12)) имеет смысл. Но при этом для него мы не имеем права применять формулу логарифма произведения log a (x·y)=log a x+log a y , a>0 , a≠1 , x>0 , y>0 , так как числа −5 и −12 – отрицательные и не удовлетворяют условиям x>0 , y>0 . То есть, нельзя провести такое преобразование: lg((−5)·(−12))=lg(−5)+lg(−12) . А что же делать? В подобных случаях исходное выражение нуждается в предварительном преобразовании, позволяющем уйти от отрицательных чисел. Про подобные случаи преобразования выражений с отрицательными числами под знаком логарифма мы подробно поговорим в одном из , а пока приведем решение этого примера, которое понятно наперед и без объяснений: lg((−5)·(−12))=lg(5·12)=lg5+lg12 .

Ответ:

а) , б) , в) lg((−5)·(−12))=lg5+lg12 .

Пример.

Упростить выражение: а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5 , б) .

Решение.

Здесь нам помогут все те же свойства логарифма произведения и логарифма частного, которые мы использовали в предыдущих примерах, только сейчас мы будем их применять справа налево. То есть, сумму логарифмов преобразуем в логарифм произведения, а разность логарифмов – в логарифм частного. Имеем
а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 (0,25·16·0,5)=log 3 2 .
б) .

Ответ:

а) log 3 0,25+log 3 16+log 3 0,5=log 3 2 , б) .

Пример.

Избавьтесь от степени под знаком логарифма: а) log 0,7 5 11 , б) , в) log 3 (−5) 6 .

Решение.

Несложно заметить, что мы имеем дело с выражениями вида log a b p . Соответствующее свойство логарифма имеет вид log a b p =p·log a b , где a>0 , a≠1 , b>0 , p - любое действительное число. То есть, при выполнении условий a>0 , a≠1 , b>0 от логарифма степени log a b p мы можем переходить к произведению p·log a b . Проведем это преобразование с заданными выражениями.

а) В этом случае a=0,7 , b=5 и p=11 . Так log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5 .

б) Здесь , условия a>0 , a≠1 , b>0 выполняются. Поэтому

в) Выражение log 3 (−5) 6 имеет ту же структуру log a b p , a=3 , b=−5 , p=6 . Но для b не выполняется условие b>0 , что делает невозможным применение формулы log a b p =p·log a b . Так что же, нельзя справиться с поставленной задачей? Можно, но требуется предварительное преобразование выражения, о котором мы подробно поговорим ниже в пункте под заголовком . Решение будет таким: log 3 (−5) 6 =log 3 5 6 =6·log 3 5 .

Ответ:

а) log 0,7 5 11 =11·log 0,7 5 ,
б)
в) log 3 (−5) 6 =6·log 3 5 .

Довольно часто формулу логарифма степени при проведении преобразований приходится применять справа налево в виде p·log a b=log a b p (при этом требуется выполнение тех же условий для a , b и p ). Например, 3·ln5=ln5 3 и lg2·log 2 3=log 2 3 lg2 .

Пример.

а) Вычислите значение log 2 5 , если из известно, что lg2≈0,3010 и lg5≈0,6990 . б) Представьте дробь в виде логарифма по основанию 3 .

Решение.

а) Формула перехода к новому основанию логарифма позволяет данный логарифм представить в виде отношения десятичных логарифмов, значения которых нам известны: . Остается лишь провести вычисления, имеем .

б) Здесь достаточно воспользоваться формулой перехода к новому основанию, причем применить ее справа налево, то есть, в виде . Получаем .

Ответ:

а) log 2 5≈2,3223 , б) .

На этом этапе мы достаточно скрупулезно рассмотрели преобразование самых простых выражений с использованием основных свойств логарифмов и определения логарифма. В этих примерах нам приходилось применять какое-то одно свойство и ничего более. Теперь со спокойной совестью можно переходить к примерам, преобразование которых требует использования нескольких свойств логарифмов и других дополнительных преобразований. Ими мы и займемся в следующем пункте. Но перед этим еще вкратце остановимся на примерах применения следствий из основных свойств логарифмов.

Пример.

а) Избавьтесь от корня под знаком логарифма . б) Преобразуйте дробь в логарифм по основанию 5 . в) Освободитесь от степеней под знаком логарифма и в его основании . г) Вычислите значение выражения . д) Замените выражение степенью с основанием 3 .

Решение.

а) Если вспомнить про следствие из свойства логарифма степени , то можно сразу давать ответ: .

б) Здесь воспользуемся формулой справа налево, имеем .

в) В данном случае к результату приводит формула . Получаем .

г) А здесь достаточно применить следствие, которому отвечает формула . Так .

д) Свойство логарифма позволяет нам достичь нужного результата: .

Ответ:

а) . б) . в) . г) . д) .

Последовательное применение нескольких свойств

Реальные задания на преобразование выражений с использованием свойств логарифмов обычно сложнее тех, которыми мы занимались в предыдущем пункте. В них, как правило, результат получается не в один шаг, а решение уже состоит в последовательном применении одного свойства за другим вместе с дополнительными тождественными преобразованиями , такими как раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, сокращении дробей и т.п. Так давайте подбираться ближе к таким примерам. Сложного в этом ничего нет, главное действовать аккуратно и последовательно, соблюдая порядок выполнения действий .

Пример.

Вычислить значение выражения (log 3 15−log 3 5)·7 log 7 5 .

Решение.

Разность логарифмов в скобках по свойству логарифма частного можно заменить логарифмом log 3 (15:5) , и дальше вычислить его значение log 3 (15:5)=log 3 3=1 . А значение выражения 7 log 7 5 по определению логарифма равно 5 . Подставим эти результаты в исходное выражение, получаем (log 3 15−log 3 5)·7 log 7 5 =1·5=5 .

Приведем вариант решения без пояснений:
(log 3 15−log 3 5)·7 log 7 5 =log 3 (15:5)·5=
=log 3 3·5=1·5=5 .

Ответ:

(log 3 15−log 3 5)·7 log 7 5 =5 .

Пример.

Чему равно значение числового выражения log 3 log 2 2 3 −1 ?

Решение.

Преобразуем сначала логарифм, находящийся под знаком логарифма, по формуле логарифма степени: log 2 2 3 =3 . Таким образом, log 3 log 2 2 3 =log 3 3 и дальше log 3 3=1 . Так log 3 log 2 2 3 −1=1−1=0 .

Ответ:

log 3 log 2 2 3 −1=0 .

Пример.

Упростить выражение .

Решение.

Формула перехода к новому основанию логарифма позволяет отношение логарифмов по одному основанию представить как log 3 5 . При этом исходное выражение примет вид . По определению логарифма 3 log 3 5 =5 , то есть , а значение полученного выражения в силу того же определения логарифма равно двум.

Вот краткий вариант решения, который обычно и приводится: .

Ответ:

.

Для плавного перехода к информации следующего пункта давайте взглянем на выражения 5 2+log 5 3 , и lg0,01 . Их структура не подходит ни под одно из свойств логарифмов. Так что же получается, их нельзя преобразовать с использованием свойств логарифмов? Можно, если провести предварительные преобразования, подготавливающие данные выражения к применению свойств логарифмов. Так 5 2+log 5 3 =5 2 ·5 log 5 3 =25·3=75 , и lg0,01=lg10 −2 =−2 . Дальше мы подробно разберемся, как осуществляется подобная подготовка выражений.

Подготовка выражений к применению свойств логарифмов

Логарифмы в составе преобразуемого выражения очень часто по структуре записи отличаются от левых и правых частей формул, отвечающих свойствам логарифмов. Но не менее часто преобразование этих выражений подразумевает использование свойств логарифмов: для их использования лишь требуется предварительная подготовка. А заключается эта подготовка в проведении определенных тождественных преобразований, приводящих логарифмы к виду, удобному для применения свойств.

Справедливости ради, заметим, что в качестве предварительных преобразований могут выступать практически любые преобразования выражений, от банального приведения подобных слагаемых до применения тригонометрических формул. Это и понятно, так как преобразуемые выражения могут содержать какие угодно математические объекты: скобки, модули, дроби, корни, степени и т.д. Таким образом, нужно быть готовым выполнить любое требующееся преобразование, чтобы дальше получить возможность воспользоваться свойствами логарифмов.

Сразу скажем, что в этом пункте мы не ставим перед собой задачу классифицировать и разобрать все мыслимые предварительные преобразования, позволяющие в дальнейшем применить свойства логарифмов или определение логарифма. Здесь мы остановимся лишь на четырех из них, которые наиболее характерны и наиболее часто встречаются на практике.

А теперь подробно о каждом из них, после чего в рамках нашей темы останется лишь разобраться с преобразованием выражений с переменными под знаками логарифмов.

Выделение степеней под знаком логарифма и в его основании

Начнем сразу с примера. Пусть перед нами логарифм . Очевидно, в таком виде его структура не располагает к применению свойств логарифмов. А можно ли как-нибудь преобразовать данное выражение, чтобы упростить его, а еще лучше вычислить его значение? Для ответа на этот вопрос давайте внимательно поглядим на числа 81 и 1/9 в контексте нашего примера. Здесь несложно заметить, что эти числа допускают представление в виде степени числа 3 , действительно, 81=3 4 и 1/9=3 −2 . При этом исходный логарифм представляется в виде и появляется возможность применения формулы . Итак, .

Анализ разобранного примера рождает следующую мысль: при возможности можно попробовать выделить степень под знаком логарифма и в его основании, чтобы применить свойство логарифма степени или его следствия. Остается только выяснить, как эти степени выделять. Дадим некоторые рекомендации по этому вопросу.

Иногда довольно очевидно, что число под знаком логарифма и/или в его основании представляет собой некоторую целую степень, как в рассмотренном выше примере. Практически постоянно приходится иметь дело со степенями двойки, которые хорошо примелькались: 4=2 2 , 8=2 3 , 16=2 4 , 32=2 5 , 64=2 6 , 128=2 7 , 256=2 8 , 512=2 9 , 1024=2 10 . Это же можно сказать и про степени тройки: 9=3 2 , 27=3 3 , 81=3 4 , 243=3 5 , … Вообще, не помешает, если перед глазами будет находиться таблица степеней натуральных чисел в пределах десятка. Также не составляет труда работать с целыми степенями десяти, ста, тысячи и т.д.

Пример.

Вычислить значение или упростить выражение: а) log 6 216 , б) , в) log 0,000001 0,001 .

Решение.

а) Очевидно, что 216=6 3 , поэтому log 6 216=log 6 6 3 =3 .

б) Таблица степеней натуральных чисел позволяет представить числа 343 и 1/243 в виде степеней 7 3 и 3 −4 соответственно. Поэтому возможно следующее преобразование заданного логарифма:

в) Так как 0,000001=10 −6 и 0,001=10 −3 , то log 0,000001 0,001=log 10 −6 10 −3 =(−3)/(−6)=1/2 .

Ответ:

а) log 6 216=3 , б) , в) log 0,000001 0,001=1/2 .

В более сложных случаях для выделения степеней чисел приходится прибегать к .

Пример.

Преобразуйте выражение к более простому виду log 3 648·log 2 3 .

Решение.

Давайте посмотрим, что представляет собой разложение числа 648 на простые множители:

То есть, 648=2 3 ·3 4 . Таким образом, log 3 648·log 2 3=log 3 (2 3 ·3 4)·log 2 3 .

Теперь логарифм произведения преобразуем в сумму логарифмов, после чего применим свойства логарифма степени:
log 3 (2 3 ·3 4)·log 2 3=(log 3 2 3 +log 3 3 4)·log 2 3=
=(3·log 3 2+4)·log 2 3 .

В силу следствия из свойства логарифма степени, которому отвечает формула , произведение log32·log23 представляет собой произведение , а оно, как известно, равно единице. Учитывая это, получаем 3·log 3 2·log 2 3+4·log 2 3=3·1+4·log 2 3=3+4·log 2 3 .

Ответ:

log 3 648·log 2 3=3+4·log 2 3 .

Довольно часто выражения под знаком логарифма и в его основании представляют собой произведения или отношения корней и/или степеней некоторых чисел, например, , . Подобные выражения можно представить в виде степени. Для этого осуществляется переход от корней к степеням , и применяются и . Указанные преобразования позволяют выделить степени под знаком логарифма и в его основании, после чего применить свойства логарифмов.

Пример.

Вычислите: а) , б) .

Решение.

а) Выражение в основании логарифма есть произведение степеней с одинаковыми основаниями, по соответствующему свойству степеней имеем 5 2 ·5 −0,5 ·5 −1 =5 2−0,5−1 =5 0,5 .

Теперь преобразуем дробь под знаком логарифма: перейдем от корня к степени, после чего воспользуемся свойством отношения степеней с одинаковыми основаниями: .

Остается подставить полученные результаты в исходное выражение, воспользоваться формулой и закончить преобразования:

б) Так как 729=3 6 , а 1/9=3 −2 , то исходное выражение можно переписать в виде .

Дальше применяем свойство корня из степени, осуществляем переход от корня к степени и используем свойство отношения степеней, чтобы преобразовать основание логарифма в степень: .

Учитывая последний результат, имеем .

Ответ:

а) , б) .

Понятно, что в общем случае для получения степеней под знаком логарифма и в его основании могут требоваться различные преобразования различных выражений. Приведем пару примеров.

Пример.

Чему равно значение выражения: а) , б) .

Решение.

Дальше отмечаем, что заданное выражение имеет вид log A B p , где A=2 , B=x+1 и p=4 . Числовые выражения подобного вида мы преобразовывали по свойству логарифма степени log a b p =p·log a b , поэтому, с заданным выражением хочется поступить аналогично, и от log 2 (x+1) 4 перейти к 4·log 2 (x+1) . А теперь давайте вычислим значение исходного выражения и выражения, полученного после преобразования, например, при x=−2 . Имеем log 2 (−2+1) 4 =log 2 1=0 , а 4·log 2 (−2+1)=4·log 2 (−1) - не имеющее смысла выражение. Это вызывает закономерный вопрос: «Что мы сделали не так»?

А причина в следующем: мы выполнили преобразование log 2 (x+1) 4 =4·log 2 (x+1) , опираясь на формулу log a b p =p·log a b , но данную формулу мы имеем право применять лишь при выполнении условий a>0 , a≠1 , b>0 , p - любое действительное число. То есть, проделанное нами преобразование имеет место, если x+1>0 , что то же самое x>−1 (для A и p – условия выполнены). Однако в нашем случае ОДЗ переменной x для исходного выражения состоит не только из промежутка x>−1 , но и из промежутка x<−1 . Но для x<−1 мы не имели права осуществлять преобразование по выбранной формуле.

Необходимость учета ОДЗ

Продолжим разбирать преобразование выбранного нами выражения log 2 (x+1) 4 , и сейчас посмотрим, что происходит с ОДЗ при переходе к выражению 4·log 2 (x+1) . В предыдущем пункте мы нашли ОДЗ исходного выражения – это есть множество (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Теперь найдем область допустимых значений переменной x для выражения 4·log 2 (x+1) . Она определяется условием x+1>0 , которому отвечает множество (−1, +∞) . Очевидно, что при переходе от log 2 (x+1) 4 к 4·log 2 (x+1) происходит сужение области допустимых значений. А мы договорились избегать преобразований, приводящих к сужению ОДЗ, так как это может приводить к различным негативным последствиям.

Здесь для себя стоит отметить, что полезно контролировать ОДЗ на каждом шаге преобразования и не допускать ее сужения. И если вдруг на каком-то этапе преобразования произошло сужение ОДЗ, то стоит очень внимательно посмотреть, а допустимо ли данное преобразование и имели ли мы право его проводить.

Справедливости ради скажем, что на практике обычно приходится работать с выражениями, у которых ОДЗ переменных такова, что позволяет при проведении преобразований использовать свойства логарифмов без ограничений в уже известном нам виде, причем как слева направо, так и справа налево. К этому быстро привыкаешь, и начинаешь проводить преобразования механически, не задумываясь, а можно ли было их проводить. И в такие моменты, как назло, проскальзывают более сложные примеры, в которых неаккуратное применение свойств логарифмов приводит к ошибкам. Так что нужно всегда быть на чеку, и следить, чтобы не происходило сужения ОДЗ.

Не помешает отдельно выделить основные преобразования на базе свойств логарифмов, которые нужно проводить очень внимательно, которые могут приводить к сужению ОДЗ, и как следствие – к ошибкам:

Некоторые преобразования выражений по свойствам логарифмов могут приводить и к обратному - расширению ОДЗ. Например, переход от 4·log 2 (x+1) к log 2 (x+1) 4 расширяет ОДЗ с множества (−1, +∞) до (−∞, −1)∪(−1, +∞) . Такие преобразования имеют место, если оставаться в рамках ОДЗ для исходного выражения. Так только что упомянутое преобразование 4·log 2 (x+1)=log 2 (x+1) 4 имеет место на ОДЗ переменной x для исходного выражения 4·log 2 (x+1) , то есть, при x+1>0 , что то же самое (−1, +∞) .

Теперь, когда мы обговорили нюансы, на которые нужно обращать внимание при преобразовании выражений с переменными с использованием свойств логарифмов, остается разобраться, как правильно нужно эти преобразования проводить.

X+2>0 . Выполняется ли оно в нашем случае? Для ответа на этот вопрос взглянем на ОДЗ переменной x . Она определяется системой неравенств , которая равносильна условию x+2>0 (при необходимости смотрите статью решение систем неравенств ). Таким образом, мы можем спокойно применять свойство логарифма степени.

Имеем
3·lg(x+2) 7 −lg(x+2)−5·lg(x+2) 4 =
=3·7·lg(x+2)−lg(x+2)−5·4·lg(x+2)=
=21·lg(x+2)−lg(x+2)−20·lg(x+2)=
=(21−1−20)·lg(x+2)=0 .

Можно действовать и иначе, благо ОДЗ позволяет это делать, например так:

Ответ:

3·lg(x+2) 7 −lg(x+2)−5·lg(x+2) 4 =0 .

А что делать, когда на ОДЗ не выполняются условия, сопутствующие свойствам логарифмов? Будем разбираться с этим на примерах.

Пусть от нас требуется упростить выражение lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 . Преобразование этого выражения, в отличие от выражения из предыдущего примера, не допускает вольготного использования свойства логарифма степени. Почему? ОДЗ переменной x в данном случае представляет собой объединение двух промежутков x>−2 и x<−2 . При x>−2 мы можем спокойно применять свойство логарифма степени и действовать как в разобранном выше примере: lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 =4·lg(x+2)−2·lg(x+2)=2·lg(x+2) . Но ОДЗ содержит еще один промежуток x+2<0 , для которого последнее преобразование будет некорректно. Что же делать при x+2<0 ? В подобных случаях на помощь приходит . Определение модуля позволяет выражение x+2 при x+2<0 представить как −|x+2| . Тогда при x+2<0 от lg(x+2) 4 −lg(x+2) 2 переходим к lg(−|x+2|) 4 −lg(−|x+2|) 2 и дальше в силу свойств степени к lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2 . Полученное выражение можно преобразовывать по свойству логарифма степени, так как |x+2|>0 при любых значениях переменной. Имеем lg|x+2| 4 −lg|x+2| 2 =4·lg|x+2|−2·lg|x+2|=2·lg|x+2| . Теперь можно освободиться от модуля, так как он свое дело сделал. Так как мы проводим преобразование при x+2<0 , то 2·lg|x+2|=2·lg(−(x+2)) . Итак, можно считать, что мы справились с поставленной задачей. Ответ: . Полученный результат можно записать компактно с использованием модуля как .

Рассмотрим еще один пример, чтобы работа с модулями стала привычной. Пусть мы задумали от выражения перейти к сумме и разности логарифмов линейных двучленов x−1 , x−2 и x−3 . Сначала находим ОДЗ:

На промежутке (3, +∞) значения выражений x−1 , x−2 и x−3 – положительные, поэтому мы спокойно можем применять свойства логарифма суммы и разности:

А на интервале (1, 2) значения выражения x−1 – положительные, а значения выражений x−2 и x−3 – отрицательные. Поэтому, на рассматриваемом интервале представляем x−2 и x−3 с использованием модуля как −|x−2| и −|x−3| соответственно. При этом

Теперь можно применять свойства логарифма произведения и частного, так как на рассматриваемом интервале (1, 2) значения выражений x−1 , |x−2| и |x−3| - положительные.

Имеем

Полученные результаты можно объединить:

Вообще, аналогичные рассуждения позволяют на базе формул логарифма произведения, отношения и степени получить три практически полезных результата, которыми довольно удобно пользоваться:

• Логарифм произведения двух произвольных выражений X и Y вида log a (X·Y) можно заменить суммой логарифмов log a |X|+log a |Y| , a>0 , a≠1 .
• Логарифм частного вида log a (X:Y) можно заменить разностью логарифмов log a |X|−log a |Y| , a>0 , a≠1 , X и Y – произвольные выражения.
• От логарифма некоторого выражения B в четной степени p вида log a B p можно перейти к выражению p·log a |B| , где a>0 , a≠1 , p – четное число и B – произвольное выражение.

Аналогичные результаты приведены, например, в указаниях к решению показательных и логарифмических уравнений в сборнике задач по математике для поступающих в вузы под редакцией М. И. Сканави .

Пример.

Упростите выражение .

Решение.

Было бы хорошо применить свойства логарифма степени, суммы и разности. Но можем ли мы здесь это делать? Для ответа на этот вопрос нам требуется знать ОДЗ.

Определим ее:

Довольно очевидно, что выражения x+4 , x−2 и (x+4) 13 на области допустимых значений переменной x могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. Поэтому нам придется действовать через модули.

Свойства модуля позволяют переписать как , поэтому

Также ничто не мешает воспользоваться свойством логарифма степени, после чего привести подобные слагаемые:

К такому же результату приводит и другая последовательность преобразований:

и так как на ОДЗ выражение x−2 может принимать как положительные, так и отрицательные значения, то при вынесении четного показателя степени 14

В задаче B7 дается некоторое выражение, которое нужно упростить. В результате должно получиться обычное число, которое можно записать в бланке ответов. Все выражения условно делятся на три типа:

1. Логарифмические,
2. Показательные,
3. Комбинированные.

Показательные и логарифмические выражения в чистом виде практически не встречаются. Однако знать, как они вычисляются, совершенно необходимо.

В целом, задача B7 решается достаточно просто и вполне под силу среднему выпускнику. Отсутствие четких алгоритмов компенсируется в ней стандартностью и однообразностью. Научиться решать такие задачи можно просто за счет большого количества тренировок.

Логарифмические выражения

Подавляющее большинство задач B7 содержат логарифмы в том или ином виде. Эта тема традиционно считается сложной, поскольку ее изучение приходится, как правило, на 11 класс — эпоху массовой подготовки к выпускным экзаменам. В результате многие выпускники имеют весьма смутное представление о логарифмах.

Но в этой задаче никто и не требует глубоких теоретических познаний. Нам будут встречаться лишь самые простые выражения, которые требуют незамысловатых рассуждений и вполне могут быть освоены самостоятельно. Ниже приведены основные формулы, которые надо знать, чтобы справиться с логарифмами:

Кроме того, надо уметь заменять корни и дроби на степени с рациональным показателем, иначе в некоторых выражениях выносить из под знака логарифма будет просто нечего. Формулы замены:

Задача. Найти значения выражений:
log 6 270 − log 6 7,5
log 5 775 − log 5 6,2

Первые два выражения преобразуются как разность логарифмов:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

Для вычисления третьего выражения придется выделять степени — как в основании, так и в аргументе. Для начала найдем внутренний логарифм:

Затем — внешний:

Конструкции вида log a log b x многим кажутся сложными и непонятыми. А между тем, это всего лишь логарифм от логарифма, т.е. log a (log b x ). Сначала вычисляется внутренний логарифм (положим log b x = c ), а затем внешний: log a c .

Показательные выражения

Будем называть показательным выражением любую конструкцию вида a k , где числа a и k — произвольные постоянные, причем a > 0. Методы работы с такими выражениями достаточно просты и рассматриваются на уроках алгебры 8-го класса.

Ниже приведены основные формулы, которые обязательно надо знать. Применение этих формул на практике, как правило, не вызывает проблем.

1. a n · a m = a n + m ;
2. a n / a m = a n − m ;
3. (a n ) m = a n · m ;
4. (a · b ) n = a n · b n ;
5. (a : b ) n = a n : b n .

Если встретилось сложное выражение со степенями, и не понятно, как к нему подступиться, используют универсальный прием — разложение на простые множители. В результате большие числа в основаниях степеней заменяются простыми и понятными элементами. Затем останется лишь применить указанные выше формулы — и задача будет решена.

Задача. Найти значения выражений: 7 9 · 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Решение. Разложим все основания степеней на простые множители:
7 9 · 3 11: 21 8 = 7 9 · 3 11: (7 · 3) 8 = 7 9 · 3 11: (7 8 · 3 8) = 7 9 · 3 11: 7 8: 3 8 = 7 · 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 · 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 · 2 21: 3 6: 2 20 = 3 · 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 · 3 · 2) 6: (3 · 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 · 3 6 · 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 · 3 · 2 = 150.

Комбинированные задачи

Если знать формулы, то все показательные и логарифмические выражения решаются буквально в одну строчку. Однако в задаче B7 степени и логарифмы могут объединяться, образуя довольно неслабые комбинации.

Инструкция

Запишите заданное логарифмическое выражение. Если в выражении используется логарифм 10, то его запись укорачивается и выглядит так: lg b - это десятичный логарифм. Если же логарифм имеет в виде основания число е, то записывают выражение: ln b – натуральный логарифм. Подразумевается, что результатом любого является степень, в которую надо возвести число основания, чтобы получилось число b.

При нахождении от суммы двух функций, необходимо просто их по очереди продифференцировать, а результаты сложить: (u+v)" = u"+v";

При нахождении производной от произведения двух функций, необходимо производную от первой функции умножить на вторую и прибавить производную второй функции, умноженную на первую функцию: (u*v)" = u"*v+v"*u;

Для того, чтобы найти производную от частного двух функций необходимо, из произведения производной делимого, умноженной на функцию делителя, вычесть произведение производной делителя, умноженной на функцию делимого, и все это разделить на функцию делителя возведенную в квадрат. (u/v)" = (u"*v-v"*u)/v^2;

Если дана сложная функция, то необходимо перемножить производную от внутренней функции и производную от внешней. Пусть y=u(v(x)), тогда y"(x)=y"(u)*v"(x).

Используя полученные выше , можно продифференцировать практически любую функцию. Итак, рассмотрим несколько примеров:

y=x^4, y"=4*x^(4-1)=4*x^3;

y=2*x^3*(e^x-x^2+6), y"=2*(3*x^2*(e^x-x^2+6)+x^3*(e^x-2*x));
Также встречаются задачи на вычисление производной в точке. Пусть задана функция y=e^(x^2+6x+5), нужно найти значение функции в точке х=1.
1) Найдите производную функции: y"=e^(x^2-6x+5)*(2*x +6).

2) Вычислите значение функции в заданной точке y"(1)=8*e^0=8

Видео по теме

Полезный совет

Выучите таблицу элементарных производных. Это заметно сэкономит время.

Источники:

• производная константы

Итак, чем же отличается иррациональное уравнение от рационального? Если неизвестная переменная находиться под знаком квадратного корня, то уравнение считается иррациональным.

Инструкция

Основной метод решения таких уравнений - метод возведения обоих частей уравнения в квадрат. Впрочем. это естественно, первым делом необходимо избавиться от знака . Технически этот метод не сложен, но иногда это может привести к неприятностям. Например, уравнение v(2х-5)=v(4х-7). Возведя обе его стороны в квадрат, вы получите 2х-5=4х-7. Такое уравнение решить не составит труда; х=1. Но число 1 не будет являться данного уравнения . Почему? Подставьте единицу в уравнение вместо значения х.И в правой и в левой части будут содержаться выражения, не имеющие смысла, то есть . Такое значение не допустимо для квадратного корня. Поэтому 1 - посторонний корень, и следовательно данное уравнение не имеет корней.

Итак, иррациональное уравнение решается с помощью метода возведения в квадрат обоих его частей. И решив уравнение, необходимо обязательно , чтобы отсечь посторонние корни. Для этого подставьте найденные корни в оригинальное уравнение.

Рассмотрите еще один .
2х+vх-3=0
Конечно же, это уравнение можно решить по той же , что и предыдущее. Перенести составные уравнения , не имеющие квадратного корня, в правую часть и далее использовать метод возведения в квадрат. решить полученное рациональное уравнение и корни. Но и другой , более изящный. Введите новую переменную; vх=y. Соответственно, вы получите уравнение вида 2y2+y-3=0. То есть обычное квадратное уравнение. Найдите его корни; y1=1 и y2=-3/2. Далее решите два уравнения vх=1; vх=-3/2. Второе уравнение корней не имеет, из первого находим, что х=1. Не забудьте, о необходимости проверки корней.

Решать тождества достаточно просто. Для этого требуется совершать тождественные преобразования, пока поставленная цель не будет достигнута. Таким образом, при помощи простейших арифметических действий поставленная задача будет решена.

Вам понадобится

• - бумага;
• - ручка.

Инструкция

Простейший таких преобразований – алгебраические сокращенного умножения (такие как квадрат суммы (разности), разность квадратов, сумма (разность) , куб суммы (разности)). Кроме того существует множество и тригонометрических формул, которые по своей сути теми же тождествами.

Действительно, квадрат суммы двух слагаемых равен квадрату первого плюс удвоенное произведение первого на второе и плюс квадрат второго, то есть (a+b)^2= (a+b)(a+b)=a^2+ab +ba+b^2=a^2+2ab+b^2.

Упростите обеих

Общие принципы решения

Повторите по учебнику по математическому анализу или высшей математике, что собой представляет определённый интеграл. Как известно, решение определенного интеграла есть функция, производная которой даст подынтегральное выражение. Данная функция называется первообразной. По данному принципу и строится основных интегралов.
Определите по виду подынтегральной функции, какой из табличных интегралов подходит в данном случае. Не всегда удается это определить сразу же. Зачастую, табличный вид становится заметен только после нескольких преобразований по упрощению подынтегральной функции.

Метод замены переменных

Если подынтегральной функцией является тригонометрическая функция, в аргументе которой некоторый многочлен, то попробуйте использовать метод замены переменных. Для того чтобы это сделать, замените многочлен, стоящий в аргументе подынтегральной функции, на некоторую новую переменную. По соотношению между новой и старой переменной определите новые пределы интегрирования. Дифференцированием данного выражения найдите новый дифференциал в . Таким образом, вы получите новый вид прежнего интеграла, близкий или даже соответствующий какому-либо табличному.

Решение интегралов второго рода

Если интеграл является интегралом второго рода, векторный вид подынтегральной функции, то вам будет необходимо пользоваться правилами перехода от данных интегралов к скалярным. Одним из таких правил является соотношение Остроградского-Гаусса. Данный закон позволяет перейти от потока ротора некоторой векторной функции к тройному интегралу по дивергенции данного векторного поля.

Подстановка пределов интегрирования

После нахождения первообразной необходимо подставить пределы интегрирования. Сначала подставьте значение верхнего предела в выражение для первообразной. Вы получите некоторое число. Далее вычтите из полученного числа другое число, полученное нижнего предела в первообразную. Если один из пределов интегрирования является бесконечностью, то при подстановке ее в первообразную функцию необходимо перейти к пределу и найти, к чему стремится выражение.
Если интеграл является двумерным или трехмерным, то вам придется изображать геометрически пределы интегрирования, чтобы понимать, как рассчитывать интеграл. Ведь в случае, скажем, трехмерного интеграла пределами интегрирования могут быть целые плоскости, ограничивающие интегрируемый объем.

Одним из элементов алгебры примитивного уровня является логарифм. Название произошло из греческого языка от слова “число” или “степень” и означает степень, в которую необходимо возвести число, находящееся в основании, для нахождения итогового числа.

Виды логарифмов

• log a b – логарифм числа b по основанию a (a > 0, a ≠ 1, b > 0);
• lg b – десятичный логарифм (логарифм по основанию 10, a = 10);
• ln b – натуральный логарифм (логарифм по основанию e , a = e ).

Как решать логарифмы?

Логари́фм числа b по основанию a является показателем степени, которая требует, чтобы в число b возвели основание а. Полученный результат произносится так: “логарифм b по основанию а”. Решение логарифмических задач состоит в том, что вам необходимо определить данную степень по числам по указанным числам. Существуют некоторые основные правила, чтобы определить или решить логарифм, а также преобразовать саму запись. Используя их, производится решение логарифмических уравнений, находятся производные, решаются интегралы и осуществляются многие другие операции. В основном, решением самого логарифма является его упрощенная запись. Ниже приведены основные формулы и свойства:

Для любых a ; a > 0; a ≠ 1 и для любых x ; y > 0.

• a log a b = b – основное логарифмическое тождество
• log a 1 = 0
• log a a = 1
• log a (x · y ) = log a x + log a y
• log a x/ y = log a x – log a y
• log a 1/x = -log a x
• log a x p = p log a x
• log a k x = 1/k · log a x , при k ≠ 0
• log a x = log a c x c
• log a x = log b x/ log b a – формула перехода к новому основанию
• log a x = 1/log x a

Как решать логарифмы – пошаговая инструкция решения

• Для начала запишите необходимое уравнение.

Обратите внимание: если в логарифме по основанию стоит 10 , то запись укорачивается, получается десятичный логарифм. Если стоит натуральное число е, то записываем, сокращая до натурального логарифма. Имеется ввиду, что результат всех логарифмов – степень, в которую возводится число основания до получения числа b.

Непосредственно, решение и заключается в вычислении этой степени. До того как решить выражение с логарифмом, его необходимо упростить по правилу, то есть, пользуясь формулами. Основные тождества вы сможете найти, вернувшись немного назад в статье.

Складывая и вычитая логарифмы с двумя различными числами, но с одинаковыми основаниями, заменяйте одним логарифмом с произведением или делением чисел b и с соответственно. В таком случае можно применить формулу перехода к другому основания (см. выше).

Если вы используете выражения для упрощения логарифма, то необходимо учитывать некоторые ограничения. А то есть: основание логарифма а – только положительное число, но не равное единице. Число b, как и а, должно быть больше нуля.

Есть случаи, когда упростив выражение, вы не сможете вычислить логарифм в числовом виде. Бывает, что такое выражение не имеет смысла, ведь многие степени – числа иррациональные. При таком условии оставьте степень числа в виде записи логарифма.

Приведены основные свойства натурального логарифма, график, область определения, множество значений, основные формулы, производная, интеграл, разложение в степенной ряд и представление функции ln x посредством комплексных чисел.

Определение

Натуральный логарифм - это функция y = ln x , обратная к экспоненте , x = e y , и являющаяся логарифмом по основанию числа е : ln x = log e x .

Натуральный логарифм широко используется в математике, поскольку его производная имеет наиболее простой вид: (ln x)′ = 1/ x .

Исходя из определения , основанием натурального логарифма является число е :
е ≅ 2,718281828459045... ;
.

График функции y = ln x .

График натурального логарифма (функции y = ln x ) получается из графика экспоненты зеркальным отражением относительно прямой y = x .

Натуральный логарифм определен при положительных значениях переменной x . Он монотонно возрастает на своей области определения.

При x → 0 пределом натурального логарифма является минус бесконечность ( - ∞ ).

При x → + ∞ пределом натурального логарифма является плюс бесконечность ( + ∞ ). При больших x логарифм возрастает довольно медленно. Любая степенная функция x a с положительным показателем степени a растет быстрее логарифма.

Свойства натурального логарифма

Область определения, множество значений, экстремумы, возрастание, убывание

Натуральный логарифм является монотонно возрастающей функцией, поэтому экстремумов не имеет. Основные свойства натурального логарифма представлены в таблице.

Значения ln x

ln 1 = 0

Основные формулы натуральных логарифмов

Формулы, вытекающие из определения обратной функции:

Основное свойство логарифмов и его следствия

Формула замены основания

Любой логарифм можно выразить через натуральные логарифмы с помощью формулы замены основания:

Доказательства этих формул представлены в разделе "Логарифм" .

Обратная функция

Обратной для натурального логарифма является экспонента .

Если , то

Если , то .

Производная ln x

Производная натурального логарифма:
.
Производная натурального логарифма от модуля x :
.
Производная n-го порядка:
.
Вывод формул > > >

Интеграл

Интеграл вычисляется интегрированием по частям :
.
Итак,

Выражения через комплексные числа

Рассмотрим функцию комплексной переменной z :
.
Выразим комплексную переменную z через модуль r и аргумент φ :
.
Используя свойства логарифма, имеем:
.
Или
.
Аргумент φ определен не однозначно. Если положить
, где n - целое,
то будет одним и тем же числом при различных n .

Поэтому натуральный логарифм, как функция от комплексного переменного, является не однозначной функцией.

Разложение в степенной ряд

При имеет место разложение:

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.